上一篇核心课程的复习笔记还是在写在上学期：信号相关专业复习

《随机信号》是我本科阶段最后一门通信的核心课程，主要内容是用概率论的方法分析随机信号的统计特性等特点。虽然马上就要毕业离开通信领域了，还是把这最后一门好好理理。

目前上课只介绍到了连续信号的分析。

主要内容是随机过程的统计特性等等特点，平稳随机过程的谱分析，以及随机信号通过线性系统的分析。

1. 什么是随机信号（随机过程）

一组随机变量，结果不仅与每次实验有关，还与时间t有关，这时候的随机变量就叫随机过程。

随机过程就是多条样本函数的集合。

随机过程的定义和一般表征

设随机实验的样本空间是$S={\xi}$，对于每个$\xi$，对应有参数$t$的函数$X(\xi,t),t\in T$。那么对于每一个$\xi$，得到一族$t$的函数${X(\xi,t),t\in T}$。

这个$t$的函数族称为随机过程，简记为$X(\xi,t)$，或$X(t)$。族中每个函数称为一个样本，它是随机过程的一次试验的物理实现，是一个确知的时间函数。

对于每个给定的时间$t_i(i=1,2,…),X(\xi,t_i)$都是随机变量。

样本函数集合：

$$X(t,\xi)=\{X(t,\xi_i),i=1,2,…\}$$

样本变量集合：

$$X(t,\xi)=\{X(t_i,\xi),i=1,2,…\}$$

2. 随机信号的研究方法

时域分析

（1）随机过程的概率特性

随机过程$X(t)$在任意时刻$t_1\in T$的取值$X(t_1)$是以为随机变量，则其：

一维概率分布函数：

$$F_X(x_1;t_1)=P\{x(t_1)\le x_1\}$$

一维概率密度函数：

$$f_X(x_1;t_1)=\frac{\partial F_X(x_1;t_1)}{\partial x_1}$$

为了描述在任意两个时刻$t_1$和$t_2$的状态间的内在联系，引入二维随机变量的概率分布：

二维概率分布函数：

$$F_X(x_1,x_2;t_1,t_2)=P\{X(t_1)\le x_1,X(t_2)\le x_2\}$$

二维概率密度函数：

$$f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)=\frac{\partial F_X(x_1,x_2;t_1,t_2)}{\partial x_1 \partial x_2}$$

（2）随机信号的数字特征

均值/数学期望（一阶原点矩）

相当于把时间$t$先固定，然后用随机变量的方法来计算当前时刻样本变量集合的数学期望。

$$m_X(t)=E[X(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x;t)dx$$

$$m_X(t)$$是一个平均函数，是时间$t$的函数，随机过程的样本在它附近起伏变化。

均方值（二阶原点矩）

$$\Psi_X^2(t)=E[X^2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f_X(x;t)dx$$

方差（二阶中心矩）

$$\sigma_X^2(t)=D[X(t)]=E[(X(t)-m_X(t))^2]$$

方差和均方值都是$t$的确定函数，描述了随机过程$X(t)$的所有样本函数在$t$时刻的函数值相对于$m_X(t)$的偏离程度/围绕数学期望的分散程度。

协方差函数（混合中心矩）

$$\begin{align}
K_X(t_1,t_2)
&=E[(X(t_1)-m_X(t_1))(X(t_2)-m_X(t_2))]\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x_1-m_X(t_1))(x_2-m_X(t_2))f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)dx_1dx_2\\
&=R_X(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_X(t_2)
\end{align}$$

描述了$X(t)$在任意两个不同时刻的起伏值之间的相关程度。

当$t_1=t_2=t$时：

$$K_X(t_1,t_2)=K_X(t,t)=E[(X(t)-m_X(t))^2]=D[X(t)]=\sigma^2_X(t)$$

此时$X(t)$的协方差函数等于方差。

描述两个随机信号之间的联系

互相关函数、互协方差函数、互相关系数…

方法类似。

频域分析

（1）随机信号样本函数的功率及功率谱

平稳过程的任何一个非零样本函数的持续时间都是无限长，因此不满足绝对可积和能量有限的条件，傅里叶变换不存在。

为了能够用频域来分析，首先定义其中一条样本函数的截断函数：

$$x_T(t)=\begin{cases}x(t),&|t|\le T\\0,&|t|\gt T\end{cases}$$

易知，截断函数是符合傅里叶变换存在的充要条件的，有：

$$F_x(\omega,T)=\int_{-\infty}^{\infty}x_T(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{-T}^{T}x(t)e^{-j\omega t}dt$$

截断函数的能量（帕萨瓦尔等式）：

$$E=\int_{-\infty}^{\infty}x_T^2(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F_x(\omega,T)|^2d\omega$$

把上式右边的被积式称为截断函数的能量谱：

$$|F_x(\omega,T)|^2$$

截断函数的功率：

$$\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^2(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2T}|F_x(\omega,T)|^2d\omega$$

令$T\to\infty$并交换运算次序，得到$x(t)$在$(-\infty,\infty)$上的平均功率：

$$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^2(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}|F_x(\omega,T)|^2d\omega$$

把上式右边的被积式称作函数的平均功率谱密度，简称功率谱密度，记作：

$$S_x(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}|F_x(\omega,T)|^2$$

（2）随机信号的功率谱密度

把单个样本函数的功率谱推广到整个随机过程$X(t)$

对于随机过程来说，求各样本函数功率谱密度的统计平均：

$$\begin{align}
S_X(\omega)=E[S_x(\omega)]&=E[\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}|F_x(\omega,T)|^2]\\
&=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}E[|F_x(\omega,T)|^2]
\end{align}$$

定义为整个随机过程$X(t)$的功率谱密度。

求完统计平均之后，$S_X(\omega)$是一个$\omega$的确知函数。

随机过程的平均功率：

频域计算

任意样本函数的平均功率：

$$Q_x=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_x(\omega)d\omega$$

随机过程的平均功率：

$$Q=E[Q_x]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}E[S_x(\omega)]d\omega=\frac{1}{2\pi}S_\color{red}{X}(\omega)d\omega$$

时域计算

任意样本函数的平均功率：

$$Q_x=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2dt$$

随机过程的平均功率：

$$Q=E[Q_x]=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}E[x^2(t)]dt$$

注：这里的$Q$是一个确定的值，不是随机变量了。

平稳随机过程功率谱密度的性质

（1）$S_{X}(\omega)$是$\omega$的实的、非负的偶函数

（2）功率谱密度可积

（3）功率谱密度与自相关函数的关系

功率谱密度反应了随机信号在频域的统计特性，自相关函数反映了随机信号在时域的统计特性，它们均是描述随机信号的重要数字特征。

维纳辛钦定理：当一个平稳过程满足一定条件的时候，其自相关函数与功率谱密度可以构成一对傅里叶变换对。

满足：

$$\int_{-\infty}^{\infty}|\tau R_X(\tau)|d\tau\lt \infty$$

要求均值为0。

则：

$$S_X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$$

满足：

$$\int_{-\infty}^{\infty}S_X(\omega)d\omega\lt \infty$$

平均功率有限。

则：

$$R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_X(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega$$

3. 两大类随机信号

平稳随机过程（平稳性）

平稳随机过程$X(t)$是在时间平移下概率性质不变的随机过程。

（1）严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）

一个随机过程的n维概率密度（或n维分布函数）不随时间起点选择的不同而改变，即：

$$f_X(x_1,x_2,…,x_n;t_1,t_2,…,t_n)=f_X(x_1,x_2,…,x_n;t_1+\tau,t_2+\tau,…,t_n+\tau)$$

则称$X(t)$为严平稳随机过程。

性质：

1.它的一维概率密度与时间无关：

$$f_X(x_1;t_1)=f_X(x_1;t_1+\tau)=f_X(x_1;0)=f_X(x_1)$$

其均值、均方值、方差也同样与时间无关。

2.它的二维概率密度只与$t_1$和$t_2$的时间间隔有关，而与时间起点无关：

$$f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)=f_X(x_1,x_2;t_1+\tau,t_2+\tau)=f_X(x_1,x_2;0,t_2-t_1)=f_X(x_1,x_2;\eta)$$

其相关函数、协方差函数同样只与时间间隔有关，与时间起点无关。

（2）宽平稳随机过程（广义平稳随机过程）

若随机过程的均值函数和相关函数存在，并且满足：

1.均值与时间无关（常数）；
2.相关函数只与时间间隔有关，与时间起点无关。

则称$X(t)$为宽平稳随机过程。

宽平稳过程反映了一个系统处于稳态工作条件下的统计性质。

严平稳一定是宽平稳，反之不一定。
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。

若无特别指明，则“平稳随机过程”指的就是宽平稳过程。

假定平稳过程的均值$E[X(t)]=0$，则此时平稳过程的协方差函数$K_X(t_1,t_2)=K_X(\tau)$与相关函数$R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]=R_X(\tau)$相等。

当均值不为0时，可以通过定义$Y(t)=X(t)-E[X(t)]$来得到均值为0的平稳过程$Y(t)$。

（3）平稳随机过程相关函数的性质

自相关函数：

（1）

$$R_X(0)=E[X^2(t)]=\Psi_X^2\ge0$$

自相关函数在$\tau=0$处的值给出了平稳过程的均方值，表示了平稳过程的平均功率。

（2）

$$R_X(\tau)=R_X(-\tau)$$

自相关函数具有对称性，是$\tau$的偶函数。

（3）

$$R_X(0)\ge|R_X(\tau)|$$

自相关函数在$\tau=0$处有最大值。

（4）

平稳随机过程的自相关函数对所有的$\omega$满足：

$$\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\ge0$$

各态历经随机过程（遍历性）

各态历经性（遍历性）：只要观测时间足够长，随机过程的一个样本函数也能够“遍历”整个集合中出现的各种可能的状态。

（1）严遍历性随机过程（狭义遍历性随机过程）

如果一个随机过程$X(t)$，它的各种时间平均都依概率1收敛于相应的集合平均，则称该随机过程具有严格的遍历性，称它为严遍历性过程（狭义遍历性过程）。

（2）宽遍历性随机过程（广义遍历性随机过程）

定义：

设${X(t),-\infty\lt t\lt\infty}$是均方连续的平稳过程，则分别称：

$$A\langle X(t)\rangle=\overline{X(t)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)dt$$

$$\mathfrak{R}_X(t,t+\tau)=\overline{X(t)X(t+\tau)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)X(t+\tau)dt$$

为该过程的时间均值和时间相关函数。

若：

$$A\langle X(t)\rangle=\overline{X(t)}=E[X(t)]=m_X$$

依概率1成立，则称该平稳过程的均值具有遍历性。

$\overline{X(t)}$与取哪一条样本有关，与时间无关
$E[X(t)]$与时间$t$有关，与取哪一条样本无关

均值的各态历经性表明：任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程（任意时刻）所有的状态相同，而且出现的频率与随机过程各状态的概率相同。

若：

$$\mathfrak{R}_X(t,t+\tau)=\overline{X(t)X(t+\tau)}=E[X(t)X(t+\tau)]=R_X(\tau)$$

依概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有遍历性。
若$\tau=0$时上式成立，则称该平稳过程的均方值具有遍历性。

如果均方连续的平稳过程$X(t)$的均值和相关函数都具有遍历性，则称该平稳随机过程为宽遍历性过程（广义遍历性过程）。

实际过程中，要严格验证平稳过程是否满足遍历性条件是比较困难的，最简单的办法是假定平稳过程是遍历性的，由此假设出发，对观测材料进行分析、处理，看其所得结论是否符合实际。

4. 白噪声

理想白噪声

分布在$(-\infty,\infty)$整个频率区间上，均值为零而功率谱密度为一个非零常数，即：

$$S_N(\omega)=\frac{1}{2}N_0$$

的平稳随机过程称为白噪声过程或简称为白噪声。

其中$N_0$为一个正实常数。

利用维纳辛钦定理，可以得到白噪声的自相关函数：

$$R_N(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_N(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega=\frac{N_0}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega\tau}d\omega=\frac{1}{2}N_0\delta(\tau)$$

自相关系数：

$$r_N(\tau)=\frac{R_N(\tau)-m_N^2}{\sigma_N^2}=\frac{R_N(\tau)}{R_N(0)}=\begin{cases}1&\tau=0\\0&\tau\ne0\end{cases}$$

带限白噪声

若一个平稳随机过程的均值为零，而功率谱密度限定在某一个有限的频率范围内均匀分布，而在此范围以外为零，则称这个过程是带限白噪声。

（1）低通白噪声

$$S_X(\omega)=\begin{cases}S_0&|\omega|\le W\\0&|\omega|\gt W\end{cases}$$

自相关函数：

$$R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_X(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W}S_0e^{j\omega\tau}d\omega=\frac{WS_0}{\pi}\frac{sinW\tau}{W\tau}$$

（2）带通白噪声

$$S_X(\omega)=\begin{cases}S_0&\omega_0-\frac{W}{2}\lt|\omega|\lt\omega_0+\frac{W}{2}\\0&其他\end{cases}$$

自相关函数：

$$R_X(\tau)=\frac{WS_0}{\pi}\frac{\sin\frac{W\tau}{2}}{\frac{W\tau}{2}}\cos\omega_0\tau$$

5. 随机信号通过连续时间系统的分析

在系统给定的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性，而不依赖于输入型号其他统计特性。

则根据输入信号已知的均值、相关函数、功率谱密度，再加上已知线性系统的单位冲激响应或者传递函数，就可求出随机信号响应的均值、相关函数和功率谱密度。

3dB带宽

如果系统的特性为低通，则3dB带宽定义为幅频特性$|H(\omega)|$值下降到最大值的$\frac{1}{\sqrt{2}}$即$0.707|H(\omega)|_{max}$时的正频率，此时功率谱下降到峰值的一半。

如果系统特性是带通：3dB带宽定义为幅频特性$|H(\omega)|$下降到最大值的$\frac{1}{\sqrt{2}}$即$0.707|H(\omega)|_{max}$时对应正频率的差值。

等效噪声带宽

当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是非常困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效替代实际系统。

等效的原则：

1.理想系统与实际系统在同一白噪声激励下，两个系统的输出平均功率是相等的；
2.理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

等效噪声带宽：定义为理想系统的带宽。

设一个普通的系统幅频特性为$|H(\omega)|$，则其平均功率为：

$$E[Y^2(t)]=\frac{N_0}{2\pi}\int_0^{\infty}|H(\omega)|^2d\omega$$

取积分限$0\sim\Delta\omega_e$，$|H(\omega)|=K$，则理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为：

$$\frac{N_0}{2\pi}\int_0^{\Delta\omega_e}K^2d\omega=\frac{N_0K^2\Delta\omega_e}{2\pi}=\frac{N_0}{2\pi}\int_0^{\infty}|H(\omega)|^2d\omega$$

则解方程可得：

$$\Delta\omega_e=\frac{1}{|H(\omega)|^2_{max}}\int_0^{\infty}|H(\omega)|^2d\omega$$

对于低通系统来说，$|H(\omega)|$的最大值出现在$\omega=0$处。

中心频率为$\omega_0$的带通系统，$|H(\omega)|$的最大值出现在$\omega=\omega_0$处。

白噪声通过理想线性系统分析

希尔伯特变换和解析过程

设有一个实值函数$x(t)$，它的希尔伯特变换记作$\hat{x}(t)$或者$H[x(t)]$

$$\hat{x}(t)=H[x(t)]=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau=x(t)*\frac{1}{\pi t}$$

易得希尔伯特变换的冲激响应及传递函数：

$$h_H(t)=\frac{1}{\pi t}\leftrightarrow H_H(j\omega)=-jsgn(\omega)=\begin{cases}-j,&\omega\ge0\\j,&\omega\lt0\end{cases}$$

希尔伯特逆变换：

$$\begin{align}
x(t)=H^{-1}[\hat{x}(t)]
&=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{x}(t-\tau)}{\tau}d\tau\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{x}(t+\tau)}{\tau}d\tau\\
&=-\frac{1}{\pi}*\hat{x}(t)
\end{align}$$

希尔伯特变换相当于一个正交滤波器/90°移相器。

对于正频率分量，移相-90°；对于负频率分量，移相+90°。

给定任一实随机过程$X(t)$，定义一个复随机过程为$\tilde{X}(t)$为：

$$\tilde{X}(t)=X(t)+j\hat{X}(t)$$

上式中，$\hat{X}(t)$是$X(t)$的希尔伯特变换，它也是一个实随机过程。

称$\tilde{X}(t)$是实随机过程$X(t)$的复解析过程，简称解析过程。

性质：

（1）若$X(t)$是实平稳随机过程，则$\hat{X}(t)$也是实平稳过程，且联合平稳；

（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同，即：

$$R_{\hat{X}}(\tau)=R_X(\tau)$$

$$S_{\hat{X}}(\omega)=S_X(\omega)$$

（3）

$$R_{\hat{X}X}(\tau)=-\hat{R}_X(\tau)$$

$$R_{X\hat{X}}(\tau)=\hat{R}_X(\tau)$$

（4）

$$R_{\hat{X}X}(\tau)=-R_{X\hat{X}}(\tau)$$

（5）

$$R_{\hat{X}X}(-\tau)=-R_{\hat{X}X}(\tau)$$

（6）

$$R_{\hat{X}X}(0)=0$$

表明，在同一时刻，随机变量$\hat{X}_t$和$X_t$正交，但上式不意味着整个随机过程正交。

（7）

$$R_{\tilde{X}}(\tau)=2[R_X(\tau)+jR_{X\hat{X}}(\tau)]=2[R_X(\tau)+j\hat{R}_X(\tau)]$$

（8）

$$S_{X\hat{X}}(\omega)=\begin{cases}-jS_X(\omega),&\omega\ge0\\jS_X(\omega),&\omega\lt0\end{cases}$$

（9）

$$S_{\tilde{X}}(\omega)=\begin{cases}4S_X(\omega),&\omega\ge0\\0,&\omega\lt0\end{cases}$$

Chenfan Blog

随机信号复习笔记

1. 什么是随机信号（随机过程）

随机过程的定义和一般表征

2. 随机信号的研究方法

时域分析

（1）随机过程的概率特性

（2）随机信号的数字特征

均值/数学期望（一阶原点矩）

均方值（二阶原点矩）

方差（二阶中心矩）

相关函数（混合原点矩）

协方差函数（混合中心矩）

描述两个随机信号之间的联系

频域分析

（1）随机信号样本函数的功率及功率谱

（2）随机信号的功率谱密度

平稳随机过程功率谱密度的性质

（3）功率谱密度与自相关函数的关系

3. 两大类随机信号

平稳随机过程（平稳性）

（1）严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）

（2）宽平稳随机过程（广义平稳随机过程）

（3）平稳随机过程相关函数的性质

各态历经随机过程（遍历性）

（1）严遍历性随机过程（狭义遍历性随机过程）

（2）宽遍历性随机过程（广义遍历性随机过程）

4. 白噪声

理想白噪声

带限白噪声

（1）低通白噪声

（2）带通白噪声

5. 随机信号通过连续时间系统的分析

3dB带宽

等效噪声带宽

白噪声通过理想线性系统分析

希尔伯特变换和解析过程